笛卡尔心形函数的解析式主要有两种形式，分别对应直角坐标系和极坐标系：

一、直角坐标系解析式

标准形式

\[

x^2 + y^2 = a\sqrt{x^2 + y^2} - ax

\]

其中 \（a > 0\），该方程通过移项和平方化简可转化为标准心形曲线。

对称形式

另一种常见形式为：

\[

x^2 + y^2 - ax = a\sqrt{x^2 + y^2}

\]

该形式与标准形式本质相同，仅 \（a\） 的符号相反，图像关于 \（y\） 轴对称。

二、极坐标系解析式

水平方向

\[

\rho = a（1 - \cos\theta）

\]

该方程对应的图像为心形线，中心位于极轴右侧，形状与标准心形一致。

垂直方向

\[

\rho = a（1 - \sin\theta）

\]

该方程对应的图像为心形线，中心位于极轴下方，形状与标准心形对称。

三、其他形式

单参数形式：

通过调整参数 \（\gamma\）、\（\beta\）、\（\phi\），可得到椭圆函数形式的单参数表达式，但需满足特定条件（如 \（\gamma = \beta\））。

四、应用场景

笛卡尔心形函数在数学、物理学等领域有广泛应用，例如描述电子轨道、行星运动等周期性现象。