根据权威资料，傅雷家书前13章的核心内容可概括如下：

傅雷的爱子情深

傅雷对儿子傅聪的成长既充满期待又难舍牵挂，既希望其向外发展，又因不舍其离别而痛苦。

傅雷对儿子的鼓励

通过分析傅聪的演奏录音，傅雷客观赞赏其艺术成就，并指出前进方向，帮助其建立信心。

傅雷的嘱咐

基于自身经验，傅雷为儿子提供人生建议，避免重蹈父母弯路，强调理性与克制。

母亲的关心

傅雷的母亲在信中指导儿子专注学业，平衡感情与事业，强调理智决策的重要性。

傅雷爱子心切

傅雷在儿子离别时自责管教严格，反思过去教育方式，表达对儿子的深切关怀。

其他章节补充：

后续章节涉及艺术探讨（如音乐、文学）、婚姻建议、生活指导等，均围绕傅雷对傅聪全方位的培养展开。