谭嗣同与蔡锷的关系可总结为师生关系，具体如下：

师生关系确认

蔡锷是谭嗣同的学生，这一关系在多份权威资料中明确提及。谭嗣同在长沙时务学堂任教期间，蔡锷作为学生接受其指导，谭嗣同对蔡锷的思想成熟和革命事业产生深远影响。

教育背景关联

蔡锷于1898年考入长沙时务学堂，谭嗣同时任学监，负责中文分教习。这一时期两人关系密切，谭嗣同对蔡锷的思想启蒙和人格塑造起到了关键作用。

历史影响延续

谭嗣同的维新思想通过蔡锷等弟子传承，蔡锷后来成为护国军领袖，继续践行反袁护国等革命事业，体现了师生关系的历史延续性。

综上，谭嗣同与蔡锷的师生关系是维新派思想传承的重要纽带，对近代中国革命进程产生了深远影响。