复数中虚数单位 \（ i \） 的 \（ n \） 次方具有周期性规律，具体如下：

一、基本规律

周期性循环

\（ i \） 的幂次方以 4 为周期循环，即：

\[

\begin{align*}

i^1 &= i \\

i^2 &= -1 \\

i^3 &= -i \\

i^4 &= 1 \\

i^5 &= i \\

\end{align*}

\]

之后每增加 4，结果重复（例如 \（ i^9 = i^1 = i \））。

通项公式

可表示为：

\[

i^n =

\begin{cases}

1 & \text{若 } n \equiv 0 \pmod{4} \\

i & \text{若 } n \equiv 1 \pmod{4} \\

-1 & \text{若 } n \equiv 2 \pmod{4} \\

-i & \text{若 } n \equiv 3 \pmod{4}

\end{cases}

\]

或简化为 \（ i^n = i^{n \mod 4} \）（其中 \（ n \mod 4 \） 表示 \（ n \） 除以 4 的余数）。

二、应用示例

计算 \（ i^{2023} \）：

\[

2023 \div 4 = 505 \text{ 余 } 3 \Rightarrow i^{2023} = i^3 = -i

\]

计算 \（ i^{100} \）：

\[

100 \div 4 = 25 \text{ 余 } 0 \Rightarrow i^{100} = i^0 = 1

\]

三、扩展说明

对数与位数：若需计算 \（ 2^n \） 的位数，可用公式 \（ \lfloor n \log_2 2 \rfloor + 1 \）（其中 \（ \log_2 2 = 1 \））。

欧拉公式：复数 \（ i \） 的 \（ n \） 次方也可表示为 \（ \cos\left（\frac{n\pi}{2}\right） + i\sin\left（\frac{n\pi}{2}\right） \），但上述周期性规律更直观。