根据等比数列求和公式，$a^1 + a^2 + \cdots + a^n$ 的和为：

$$

S = \frac{a^{n+1} - a}{a - 1} \quad (a

eq 1)

$$

详细说明：

等比数列求和公式

对于公比为 $a$ 的等比数列，前 $n$ 项和公式为：

$$

S_n = a \cdot \frac{1 - a^n}{1 - a}

$$

这里首项为 $a^1$，公比为 $a$，项数为 $n$。

推导过程

- 设 $S = a + a^2 + \cdots + a^n$

- 两边同乘以 $a$ 得到 $aS = a^2 + a^3 + \cdots + a^{n+1}$

- 用 $aS - S$ 消去中间项，得到 $（a-1）S = a^{n+1} - a$

- 最后解得 $S = \frac{a^{n+1} - a}{a - 1}$。

特殊情况

当 $a = 1$ 时，数列变为 $1 + 1 + \cdots + 1$，和为 $n$。 当 $|a| < 1$ 时，公式依然适用，且当 $n \to \infty$ 时，和趋近于 $\frac{1}{1-a}$。

总结：

$a^1 + a^2 + \cdots + a^n = \frac{a^{n+1} - a}{a - 1}$，适用于 $a \neq 1$ 的情况。