阿基米德在数学领域的成就主要体现在几何学、代数和数学方法创新三个方面，其贡献对现代数学和科学的发展具有深远影响。以下是具体成就的总结：

一、几何学成就

复杂几何体计算

确定了抛物线弓形、螺线、圆形、椭球体、抛物面体等复杂几何体的表面积和体积计算方法，包括球体、圆柱体、圆锥体等旋转体体积公式。

圆周率计算

采用“穷竭法”（逐步逼近法）计算圆周率，通过内接和外切正多边形逼近圆周，得出π值介于3.140845（即3 10/71）和3.142857（即3 1/7）之间，为现代圆周率计算奠定基础。

几何定理与公式

- 证明抛物线弓形面积等于同底等高三角形面积的4/3；

- 提出椭圆与圆面积比公式（长轴×短轴/半径²）；

- 发现并证明海伦公式（用于计算三角形面积）。

二、代数与数论贡献

级数与数列

推导等差数列求和公式（n（a₁+an）/2）及无穷递缩等比数列求和公式，为代数分析奠定基础。

三、数学方法创新

穷竭法与极限思想

创立“穷竭法”，通过多边形逼近曲边形求解面积和体积，为微积分发展提供思想雏形，被公认为微积分计算的鼻祖。

大数记法

首创记大数方法，突破古希腊数字表示限制（仅能表示1-10000），解决大规模计算问题，如估算沙子数量（古戈）。

四、其他数学成果

重心与静力学：

证明三角形、平行四边形重心位置，为工程学提供理论支持；

螺旋线研究：发现阿基米德螺旋（螺线），其方程对微积分发展有重要影响。

综上，阿基米德的数学成就不仅推动了几何学和代数的发展，还通过创新方法为微积分诞生奠定基础，其思想影响跨越两千余年。